Probabilidad y estrategia en los juegos de casino, calculadas

El valor esperado: el precio de cada apuesta

Toda apuesta de casino se puede reducir a un número: lo que devuelve de media por cada euro apostado. Ese número se llama valor esperado y se calcula multiplicando cada resultado posible por su probabilidad y sumando. Si el resultado es negativo, la apuesta cuesta dinero a largo plazo; si fuera positivo, el casino perdería dinero con ella, y por eso no existe en ninguna mesa.

Tomad un pleno de 1 € en la ruleta europea. Hay 37 casillas y una es la vuestra. Con probabilidad 1/37 ganáis 35 €; con probabilidad 36/37 perdéis el euro. El cálculo es (1/37 × 35) − (36/37 × 1) = (35 − 36) / 37 = −1/37: −0,027 € por euro apostado. Con 1 € al rojo sale lo mismo: (18/37 × 1) − (19/37 × 1) = −1/37. El riesgo de las dos apuestas es muy distinto. El precio es idéntico.

El valor esperado no dice qué va a pasar en la próxima tirada. Nadie pierde 2,7 céntimos en una tirada: o gana 35 € o pierde 1 €. Lo que dice es hacia dónde tiende el resultado cuando las tiradas se cuentan por miles. Para una tarde concreta hace falta otra herramienta, la varianza, que vemos más abajo.

La ventaja de la casa, juego por juego

La ventaja de la casa es el valor esperado visto desde el otro lado de la mesa: la parte de cada euro apostado que el casino retiene de media. En la ruleta europea es 1/37, el 2,70 %. En la americana, con el doble cero, sube a 2/38, el 5,26 %. En el punto y banca, la apuesta a la banca cuesta un 1,06 % después de la comisión del 5 %, y la de empate, que paga 8 a 1, un 14,36 %.

La tabla completa, con las reglas que se suponen en cada fila y el cálculo de cada cifra, está en la página de la ventaja de la casa. Allí también se explica la relación con el RTP de las tragaperras, que es el mismo concepto contado al revés: un RTP del 96 % equivale a una ventaja del 4 %.

2,70 %Lo que retiene la ruleta europea de cada euro apostado, sea al pleno, a la docena o al rojo. Es 1 de cada 37 euros.

Varianza: por qué una tarde no se parece a la media

Si la ventaja de la casa fuera lo único que importa, todas las sesiones de ruleta terminarían con una pérdida pequeña y previsible. No es así, y la razón es la varianza: la medida de cuánto se alejan los resultados de su media. Se suele expresar con la desviación típica, que tiene las mismas unidades que la apuesta.

Una apuesta de 1 € al rojo tiene una desviación típica de casi 1 €: el resultado es +1 o −1 y la media está muy cerca de cero. Un pleno de 1 € tiene una desviación típica de unos 5,84 €, porque el resultado salta entre −1 y +35. Las dos apuestas cuestan lo mismo de media; la segunda reparte ese coste de forma mucho más irregular.

Con 100 tiradas de 10 € al rojo, la pérdida esperada es de 27 € (1.000 € apostados por el 2,70 %), pero la desviación típica del resultado ronda los 100 €. Con esa desviación, terminar ganando 70 € o perdiendo 130 € entra dentro de lo normal, y la media casi no se ve. Con 100 plenos de 10 €, la pérdida esperada es la misma, 27 €, y la desviación típica sube a unos 584 €. De ahí que los jugadores de plenos cuenten historias de grandes noches y de grandes pérdidas, mientras que los de rojo y negro suelen terminar cerca de donde empezaron.

En las tragaperras, la varianza depende del diseño de la tabla de pagos y la volatilidad es su nombre comercial. Lo tratamos en RTP y volatilidad.

Independencia: la rueda no recuerda

Dos sucesos son independientes cuando el resultado de uno no cambia la probabilidad del otro. Cada tirada de la ruleta es independiente de las anteriores: la bola no sabe qué salió antes y la rueda no compensa. Después de ocho rojos seguidos, la probabilidad de negro en la ruleta europea sigue siendo 18/37, un 48,65 %.

La intuición dice otra cosa, y esa intuición tiene nombre: la falacia del jugador. Es la idea de que un número que lleva mucho sin salir «está al caer». Lo contamos con los dados, con la ruleta y con la famosa racha de negros de Montecarlo en 1913 en la página de la falacia del jugador.

Hay una excepción importante entre los juegos de casino: las cartas. En el blackjack y en el punto y banca, las cartas que salen de un zapato no vuelven a él hasta que se mezcla, así que cada mano cambia ligeramente la composición de las siguientes. Ese efecto es pequeño y desaparece en mesas que mezclan tras cada mano, como las versiones online con generador aleatorio.

La ley de los grandes números, en la práctica

La ley de los grandes números dice que, cuantas más veces se repite un experimento, más se acerca la frecuencia observada a la probabilidad teórica. Lanzad una moneda diez veces y sacar siete caras no tiene nada de raro. Lanzadla diez mil veces y la proporción de caras se quedará muy cerca del 50 %.

En el casino esa ley trabaja a favor de la banca y a ritmos distintos para cada lado. Fijaos en lo que pasa con apuestas de 10 € al rojo en la ruleta europea:

La pérdida esperada crece en proporción al número de tiradas; la desviación típica crece con su raíz cuadrada. A las 100 tiradas, la suerte pesa casi cuatro veces más que la ventaja de la casa. A las 10.000, la ventaja pesa casi el triple que la suerte. Un jugador puede ganar una tarde, una semana o un mes. Un casino, que suma las tiradas de todos sus jugadores, vive en la última fila de la tabla todos los días.

Contar casos: la probabilidad con cartas

En la ruleta, cada casilla tiene la misma probabilidad y basta con contarlas. Con las cartas, el método es el mismo, pero hay muchos más casos y se cuentan con combinatoria: el número de formas de elegir unas cartas de una baraja sin importar el orden.

El póker de cinco cartas es el ejemplo de manual. Una baraja francesa de 52 cartas permite 2.598.960 manos distintas de cinco cartas. De ellas, 1.098.240 son una pareja, así que recibir una pareja servida pasa un 42,26 % de las veces. La escalera real solo tiene cuatro combinaciones posibles, una por palo: una de cada 649.740 manos. Con esas cuentas se construye el orden de las jugadas, que está en combinaciones de póker: una mano vale más cuanto menos probable es.

En el blackjack, la misma técnica da la probabilidad de un natural. Con 6 barajas hay 312 cartas, 24 ases y 96 cartas que valen 10. Recibir as y diez, en cualquier orden, tiene una probabilidad de 2 × (24/312) × (96/311), un 4,75 %: algo menos de una mano de cada veinte. Es la mano que paga 3 a 2, y esa frecuencia explica por qué cambiar el pago a 6 a 5 encarece tanto la mesa.

Contar casos sirve también para comprobar lo que se oye en la mesa. Si alguien asegura que una jugada «sale mucho», la cuenta de combinaciones dice cuántas veces debería salir; si la observación de una tarde no coincide, lo normal es que la tarde haya sido corta, no que la cuenta esté mal.

Qué margen deja cada juego a una estrategia

En los juegos donde el jugador no toma decisiones durante la jugada, como la ruleta, las tragaperras o el punto y banca, ninguna estrategia cambia la ventaja de la casa. Se puede elegir la apuesta más barata (la banca en el punto y banca, las sencillas en una ruleta con la partage), y ahí termina el margen.

Los sistemas de progresión, que suben o bajan la apuesta según los resultados, no cambian la probabilidad de nada. La martingala es el caso más conocido: doblar tras cada pérdida convierte muchas ganancias pequeñas en alguna pérdida grande, y el resultado total sigue siendo el 2,70 % de todo lo apostado. Lo calculamos con la secuencia completa de 5 € a 640 €.

El blackjack es distinto porque el jugador decide en cada mano. La estrategia básica indica la decisión con menos pérdida media para cada combinación, y bien aplicada deja la ventaja en torno al 0,4 %. Jugar «a intuición» la sube con facilidad. En el póker entre jugadores, la casa cobra una comisión y el resultado depende de jugar mejor que los rivales, que es un problema de probabilidad aplicado a cada mano.

Hay una estrategia que funciona en todos los juegos: controlar cuánto se apuesta en total. La pérdida esperada es la ventaja de la casa multiplicada por el total apostado, así que fijar un presupuesto, un tiempo y un tamaño de apuesta es la única palanca real. Lo desarrollamos en gestión del bankroll.

Cinco euros, cincuenta tiradas: la cuenta de una sesión

La pérdida esperada de una sesión sale de multiplicar tres números: lo que pensáis apostar en cada jugada, las jugadas que caben en el tiempo que vais a jugar y la ventaja de la casa del juego. Si la cifra que sale no os parece aceptable, la apuesta o el tiempo se cambian antes de empezar, no a mitad de sesión. Para los límites y la autoexclusión, la página de juego responsable.

Con 5 € por tirada, 50 tiradas y la ruleta europea, son 250 € apostados y unos 6,75 € de pérdida esperada, más una variación de unos 35 € arriba o abajo que la varianza trae con esas 50 tiradas.